Integral Parsial

Pada pembahasan ini kita akan berlatih menemukan antiturunan dengan menggunakan integral parsial. Selain itu, di bagian akhir pembahasan ini, kita juga akan menggunakan metode tabulasi dalam melakukan proses integral parsial tersebut. Teknik integral parsial dapat diterapkan dalam berbagai macam fungsi, dan secara khusus teknik tersebut sangat berguna ketika dijumpai integran yang melibatkan perkalian fungsi-fungsi aljabar dan transendental. Sebagai contoh, integral parsial akan sangat berfungsi dengan baik untuk menyelesaikan,

Integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dalam x. Jika u’ dan v’ kontinu, kita dapat mengintegralkan kedua ruas dari persamaan di atas dan memperoleh

Dengan menulis kembali persamaan di atas, diperoleh teorema berikut.

Teorema 1: Integral Parsial
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka

Rumus integral parsial ini menyatakan integral aslinya ke dalam bentuk integral yang lain. Berdasarkan pemilihan u dan dv, akan lebih mudah menyelesaikan bentuk integral yang kedua daripada bentuk aslinya. Karena pemilihan u dan dv sangatlah krusial dalam proses integral parsial, berikut ini panduan dalam memilih u dan dv.

---

Panduan dalam Proses Integral Parsial

1. Cobalah untuk memisalkan dv sebagai bagian yang sangat rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral. Sehingga u merupakan faktor lainnya dari integran.
2. Cobalah untuk memisalkan u sebagai bagian dari integran yang turunannya lebih sederhana dari u. Selanjutnya dv merupakan faktor integral lainnya.

Perhatikan bahwa dv selalu memuat dx dari integran aslinya.

---

Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan permasalahan integral dengan menggunakan metode integral parsial, perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1: Integral Parsial
Tentukan,

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan integral tersebut ke dalam

Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana dari x, dan dv = e^x merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral.

Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

Untuk memeriksa hasil pengintegralan ini, kita dapat menurunkan hasil tersebut untuk mendapatkan integran aslinya.
Catatan Pada contoh 1 di atas kita tidak perlu menuliskan konstanta ketika menyelesaikan

Untuk mengilustrasikan hal ini, cobalah mengganti v = e^x dengan v = e^x + C₁ kemudian terapkan proses integral parsial untuk melihat bahwa kamu akan mendapatkan hasil yang sama.

Integral Tak Tentu

Pengertian Integral Tak Tentu

Seperti yang telah disebutkan sebelumya, Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai Indefinite Integral  maupun ada juga yang menyebutnya sebagai Antiderivatif merupakan sebuah bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.

Fungsi ini belum mempunyai nilai pasti sampai cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut sebagai integral tak tentu.

Apabila f berwujud integral tak tentu dari sebuah fungsi F maka F’= f.

Proses memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang berhubungan dengan integral lewat “Teorema dasar kalkulus”. Serta memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Integral Tak Tentu

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, integral tak tentu dalam matematika merupakan invers/kebalikan dari turunan.

Turunan dari sebuah fungsi, apabila diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri.

Mari perthatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2
Seperti yang telah kita pelajari pada materi turunan, variabel dalam sebuah fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Berdasarkan contoh di atas, maka dapat kita ketahui jika terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yakni yI = 3x2.

Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang dikurang atau ditambah pada sebuah bilangan (contohnya: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Apabila turunan itu kita integralkan, maka harusnya akan menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan.

Tetapi, dalam kasus yang tidak diketahui fungsi awal dari sebuah turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut bisa kita tulis menjadi:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C dapat berapa pun. Notasi C ini juga disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan seperti berikut:

Dalam notasi di atas dapat kita baca integral terhadap x”. notasi  disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) merupakan penjumlahan F(x) dengan C atau:

Maka rumus integral aljabar didapatkan:

Sekian dulu penjelasan integral dari saya, semoga bermanfaat

Teknik Integral Subtitusi Trigonometri

Contoh 1: Substitusi Trigonometri: u = a sin θ
Selesaikan,

Pembahasan Untuk menggunakan substitusi trigonometri, kita harus melihat bahwa √(9 – x²) merupakan bentuk dari √(a² – u²). Sehingga kita dapat menggunakan substitusi

Sehingga, persamaan yang menghubungkan variable x dan θ di atas dapat dimodelkan ke dalam segitiga siku-siku sebagai berikut.

Dengan menggunakan turunan dan segitiga di atas, kita mendapatkan

Sehingga, dengan menggunakan substitusi dihasilkan


Perhatikan bahwa segitiga pada gambar di pembahasan Contoh 1 tersebut, dapat juga digunakan untuk mengubah θ kembali menjadi x sebagai berikut.

Contoh 2: Substitusi Trigonometri: u = a tan θ
Tentukan,


Pembahasan Misalkan u = 2x, a = 1, dan 2x = tan θ, seperti yang dapat digambarkan sebagai berikut.

Sehingga, kita mendapatkan

Dengan menggunakan substitusi trigonometri, didapatkan

Selanjutnya kita dapat memperluas penggunaan dari substitusi trigonometri untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk (a² – u²)^n/2 dengan menuliskan bentuk tersebut ke dalam

Bagikan ini:

Integral Reduksi Trigonometri

Istilah reduksi biasanya sering dipakai dalam bidang kimia, menurut pengertian reduksi sendiri mempunyai arti penambahan jumlah elektron dari sebuah atom, molekul ataupun ion. Dimana atom, molekul atau ion tersebut sangat erat kaitannya dengan bidang kimia. Tetapi matematika juga memakai istilah reduksi, yaitu tepatnya untuk manamakan sebuah rumus. Rumus reduksi dalam integral ini banyak sekali penggunaanya, sebab biasanya kita dalam menyelesaikan sebuah persoalan matematika tidaklah cukup menggunakan satu rumus.

Berikut yang merupakan rumus reduksi

contoh penggunaan rumus reduksi dalam soal
adversitemens
Selesaikan soal dibawah ini menggunakan rumus reduksi !

Itulah contoh penggunaan rumus reduksi dalam menyelesaikan soal matematika, temen temen dapat juga menggunakan rumus reduksi untuk contoh kasus yang lain. semoga penjelasan menggunakan contoh mengenai rumus reduksi ini dapat membuat temen- temen paham mengenai rumus reduksi. Jangan lupa pelajari juga mengenai menghitung luas daerah menggunakan integral pada postingan sebelumnya di rumus matematika ini.